SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

A. Pengertian SPLDV

Persamaan linear dua variabel adalah persamaan garis lurus yang mempunyai 2 variabel atau peubah.

Contoh:

•  → persamaan dengan dua variabel x dan y.

•  → persamaan dengan dua variabel α dan β.

adalah dua persamaan linear dua variabel yang hanya memiliki satu titik penyelesaian.
Bentuk umum:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Dengan x dan y adalah variabel, dan a, b, dan c sebagai konstanta

B. Metode SPLDV
1. Metode grafik
adalah menyelesaikan dua persamaan linear dengan cara membuat grafik dan menggambarkan persamaan linear-persamaan linear dalam bentuk grafik persamaan garis lurus.
Pada metode grafik ini, dibutuhkan ketepatan dalam membuat skala grafik. Jika tidak, titik penyelesaian yangdiperoleh tidak akurat.
2. Metode subtitusi
adalah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menyatakan sebuah variabel dari salah satu sistem persamaan linear dua variabel dalam variabel lain.
3. Metode eliminasi
adalah menghilangkan salah satu variabel dari suatu sistem persamaan linear untuk mendapatkan nilai dari variabel yang lain.
Langkah-langkahnya sebagaiberikut:
a. Angka dari koefisien variabel yang akan dihilangkan harus sama.
b. Jumlahkan atau kurangkankedua persamaan yang diketahui agar koefisien dari variabel yang akan di hilangkan bernilai nol.
4. Metode campuran
adalah penyelesaian bentuk sistem persamaan linear dua variabel dengan menggunakan cara eliminasi lalu dilanjutkan dengan menggunakan cara subtitusi, atau sebaliknya. Dengan menggunakan metode campuran, eliminasi, dan subtitusi, kemungkinan akan lebih cepat mendapatkan himpunan penyelesaian dari pada menggunakan salah satu metode eliminasi atau subtitusi saja
5.Menentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan metode grafik

Untuk menyelesaikan SPLDV dapat dilakukan dengan menggunakan 3 metode, yaitu:

1. metode eliminasi,
2. metode sustitusi,
3. metode grafik.

Penyelesaian SPLDV dengan Metode Grafik

Grafik dari persamaan linear dua variabel ax + by = c adalah garis lurus.
Penyelesaian SPLDV ax + by = c
                                 px + qy = r

adalah titik potong antara garis ax + by = c dan garis px + qy = r.

Langkah-langkah untuk menentukan penyelesaian SPLDV dengan menggunakan metode grafik adalah sebagai berikut:

1. tentukan titik potong garis dengan sumbu X, syarat y = 0,
2. tentukan titik potong garis dengan sumbu Y, syarat x = 0,
   Langkah (1) dan (2) dapat disederhanakan dalam bentuk tabel sebagai berikut:
   
   
3. gambar garis dari setiap persamaan,
4. tentukan titik potong kedua garis, titik potong tersebut adalah penyelesaian SPLDV.

Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV 3x + y = 15
                                                                   x + y = 7.

Jawab:
3x + y = 15

1. Titik potong dengan sumbu X, syarat y = 0.
   3x + 0 = 15
           x = 5.
   Titik potong (5, 0)



2. Titik potong dengan sumbu Y, syarat x = 0.
   3(0) + y = 15
              y = 15.
   Titik potong (0, 15)
   
   Dalam bentuk tabel
   

x + y = 7

1. Titik potong dengan sumbu X, syarat y = 0.
   x + 0 = 7
         x = 7.
   Titik potong (7, 0)



2. Titik potong dengan sumbu Y, syarat x = 0.
   0 + y = 7
         y = 7.
3. Titik potong (0, 7) 
   
   Dalam bentuk tabel
   
   
   GAMBAR GRAFIK
   
   Himpunan penyelesaian: {(4, 3)}

Contoh 2:
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV 4x - 2y = 20
                                                                 2x + y  = 6

Jawab:
4x - 2y = 20

1. Titik potong dengan sumbu X, syarat y = 0.
   4x + 2(0) = 20
              4x = 20.
                x = 5.          Titik potong (5, 0)


2. Titik potong dengan sumbu Y, syarat x = 0.
   4(0) - 2y = 20
           - 2y = 20
               y = -10.       Titik potong (0, -10) 
   
   Dalam bentuk tabel
   

2x + y = 6

1. Titik potong dengan sumbu X, syarat y = 0.
   2x + 0 = 6
           x = 3.
   Titik potong (3, 0)



2. Titik potong dengan sumbu Y, syarat x = 0.
   0 + y = 6
          y = 6.
   Titik potong (0, 6)
   
   Dalam bentuk tabel
   
   
   GAMBAR GRAFIK
   
   Himpunan penyelesaian: {(4, -2)}

Contoh 3:
Diketahui grafik SPLDV memotong sumbu-sumbu koordinat di titik (-8, 0) dan (0, 6), dan di titik (-2, 0) dan (0, -3).
Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV.

Jawab:
Grafik yang melalui titik (-8, 0) dan (0, 6).
Grafik yang melalui titik (-2, 0) dan (0, -3).



Himpunan penyelesaian: {(-4, 3)}

C. Soal Cerita Yang Menggunakan Persamaan Linear
Untuk menyelesaikan soal cerita (penerapan dari sistempersamaan linear dua variabel), perlu dibuatkan model matematika. Model matematika merupakan terjemahan soal cerita dalam bentuk persamaan matematika.
Langkah-langkahnya sebagaiberikut:
1. Simak soal cerita dengan baik
2. Misalkan variabel yang belum diketahui dalam x dan y
3. Buatlah persamaan
4. Selesaikanlah sistem persamaan menggunakan metode grafik, metode subtitusi, atau metode eliminasi.
5. Kembalikan ke dalam bentuk persamaan asal.

Contoh:
UNAS 2009 (A)
Pada sebuat toko, Hida dan Anis membeli terigu dan beras dengan merk yang sama. Hida membeli 6 kg terigu dan 10 kg beras seharga Rp. 84.000,00, sedangkan Anis membeli 10 kg terigu dan 5 kg beras seharga Rp. 70.000,00. Harga8 kg terigu dan 20 kg beras adalah....
Jawab:
Misalkan:
Terigu = x
Beras = y
Maka sistem persamaannya menjadi:
6x + 10y = 84
10x + 5y = 70
(dalam ribuan rupiah)
Metode eliminasi:
6x + 10y = 84 |x 1|
10x + 5y = 70 |x 2|
menjadi
6x + 10y = 84
20x + 10y = 140
____________________-
-14x = -56
x = 4
Dengan menggunakan persamaan 2 masukkan nilai x = 4
10x + 5y = 70
10(4) + 5y = 70
40 +5y = 70
5y = 30
y = 6
Jadi ditemukan:
Harga terigu = x = 4.000
Harga beras = y = 6.000
Maka harga 8 kg terigu dan 20 kg beras adalah 8x + 20y
= (8 x 4.000) + (20 x 6.000)
= 32.000 + 120.000
= 152.000